Question

2．设两个非零向量$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$不共线，若$\overrightarrow{a}$与$\overrightarrow{b}$的起点相同，且$\overrightarrow{a}$，t$\overrightarrow{b}$，$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）的终点在同一条直线上，求实数t的值．

Answer 1

分析 由题意可知：$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）=λ$\overrightarrow{a}$+（1-λ）t$\overrightarrow{b}$，整理得：（λ-$\frac{1}{3}$）$\overrightarrow{a}$+（t-λt-$\frac{1}{3}$）$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{0}$，由$\overrightarrow{a}$和$\overrightarrow{b}$是两个不共线的非零向量，可得$\left\{\begin{array}{l}{λ-\frac{1}{3}=0}\\{t-λt-\frac{1}{3}=0}\end{array}\right.$，解方程即可得到所求值．

解答 解：$\overrightarrow{a}$，t$\overrightarrow{b}$，$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）三个向量的终点在同一条直线上，
$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）=λ$\overrightarrow{a}$+（1-λ）t$\overrightarrow{b}$，
整理得：（λ-$\frac{1}{3}$）$\overrightarrow{a}$+（t-λt-$\frac{1}{3}$）$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{0}$，
由$\overrightarrow{a}$和$\overrightarrow{b}$是两个不共线的非零向量，
∴$\left\{\begin{array}{l}{λ-\frac{1}{3}=0}\\{t-λt-\frac{1}{3}=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{λ=\frac{1}{3}}\\{t=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
∴当t=$\frac{1}{2}$，$\overrightarrow{a}$，t$\overrightarrow{b}$，$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）的终点在同一条直线上．

点评 本题考查平面向量的基本定理及其意义，考查平面向量的共线定理的应用，考查计算能力，属于基础题．