Question

设函数f（x）=ax3+bx2+c，其中a+b=0，a，b，c均为常数，曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程为x+y﹣1=0．

（Ⅰ）求a，b，c的值；

（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间．

 

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）增区间为，减区间为．

【解析】

试题分析：

解题思路：（Ⅰ）求导，利用导数的几何意义求切线斜率，进而求切线方程；（Ⅱ）求导，解不等式

求单调递增区间，解不等式求单调递减区间.

规律总结：1.导数的几何意义求切线方程：；

2.求函数的单调区间的步骤：①求导函数；②解；③得到区间即为所求单调区间.

试题解析：（Ⅰ）因为 ，

所以，又因为切线x+y=1的斜率为，所以,

解得，

，由点（1,c）在直线x+y=1上，可得1+c=1，即c=0，

；

（Ⅱ）由（Ⅰ）由，解得，

当 时；当 时；

当时，

所以的增区间为，减区间为.

考点：1.导数的几何意义；2.利用导数求函数的单调区间.