Question

15．已知：sinx+siny+sinz=cosx+cosy+cosz=0，求S=tan（x+y+z）+tanxtanytanz的值．

Answer 1

分析 把已知等式变形，平方作和后可得cos（x-y）=-$\frac{1}{2}$，cos（y-z）=-$\frac{1}{2}$，cos（z-x）=-$\frac{1}{2}$，表明角x，y，z中任两角的终边夹角为120度．然后把x，y用z表示后利用两角和的正切得答案．

解答 解：由sinx+siny+sinz=cosx+cosy+cosz=0，得
sinx+siny=-sinz且cosx+cosy=-cosz，
平方相加，得2+2cosxcosy+2sinxsiny=1，
即cos（x-y）=-$\frac{1}{2}$，
同理，cos（y-z）=-$\frac{1}{2}$，cos（z-x）=-$\frac{1}{2}$，
这表明角x，y，z中任两角的终边夹角为120度．
不妨设 x=y+120°+2k₁•180°（k₁∈Z），y=z+120°+2k₂•180°（k₂∈Z），
则x=z+$\frac{4}{3}×180°$+2（k₁+k₂）×180°，
x+y+z=3z+2（k₁+k₂+1）×180°，
S=tan（x+y+z）+tanx•tany•tanz
=tan（3z）+tan（z+240°）tan（z+120°）tanz
=tan（3z）+tanz•tan（z+60°）•tan（z-60°）
=tan（3z）-tan（3z）=0．

点评 本题考查两角和与差的正切，考查数学转化思想方法，是中档题．