Question

8．已知函数f（x）=|x+1|-|x-3|．
（Ⅰ）解不等式f（x）≥1；
（Ⅱ）若存在x∈R，使f（x）＞|2a-4|，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）去绝对值，对x分类讨论，分别求解，最后求并集即可；
（Ⅱ）存在x∈R，使f（x）＞|2a-4|，相当于只需f（x）的最大值大于|2a-4|，求出f（x）的最大值，解绝对值不等式即可．

解答 解：（Ⅰ）当x≤-1时，
f（x）=-4，
当-1＜x＜3时，
f（x）=2x-2，
当x≥3时，
f（x）=4，
∴当x≥3时f（x）≥1恒成立，
当-1＜x＜3时，2x-2≥1，
∴x≥$\frac{3}{2}$，
∴f（x）≥1的解集为[$\frac{3}{2}$，+∞）；
（Ⅱ）由上可知f（x）的最大值为4，
∴4＞|2a-4|，
∴0＜a＜4，
故a的范围为（0，4）．

点评 考查了绝对值函数的求解和恒成立问题的转化，属于基础题型，应熟练掌握．