Question

12．设函数f（x）的定义域D关于原点对称，且存在常数a＞0，使f（a）=1，又f（x₁-x₂）=$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{1+f（{x}_{1}）f（{x}_{2}）}$，
（1）在我们学过的函数中，写出f（x）的一个函数解析式，并说明其符合题设条件；
（2）若存在正常数T使得等式f（x-T）=f（x）对于x∈D都成立，则称f（x）是周期函数，T为周期；试问f（x）是不是周期函数？若是，则求出它的一个周期T；若不是，则说明理由．

Answer 1

分析 （1）对照条件，由正切函数和两角差的正切公式，可得f（x）tanx；
（2）f（x）为周期为4a的函数．可令x₁=x，x₂=a，将x换为x-a，再将x换为x-2a，可得f（x-4a）=f（x），即可得到所求周期．

解答 解：（1）由f（a）=1，又f（x₁-x₂）=$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{1+f（{x}_{1}）f（{x}_{2}）}$，
满足两角差的正切公式，可得f（x）为正切函数，
则y=tanx，
当a=$\frac{π}{4}$时，f（a）=1，符合题意．
即有f（x）=tanx；
（2）f（x）为周期为4a的函数．
由f（a）=1，又f（x₁-x₂）=$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{1+f（{x}_{1}）f（{x}_{2}）}$，
可令x₁=x，x₂=a，即有f（x-a）=$\frac{f（x）-f（a）}{1+f（x）f（a）}$=$\frac{f（x）-1}{1+f（x）}$，
将x换为x-a，可得f（x-2a）=$\frac{f（x-a）-1}{1+f（x-a）}$
=$\frac{\frac{f（x）-1}{1+f（x）}-1}{1+\frac{f（x）-1}{1+f（x）}}$=-$\frac{1}{f（x）}$，
再将x换为x-2a，可得f（x-4a）=-$\frac{1}{f（x-2a）}$=f（x），
对照定义，可得f（x）为周期函数，且最小正周期为T=4a．

点评 本题考查函数的性质和运用，主要考查周期性和周期的求法，注意运用赋值法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．