Question

13．已知锐角△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若ccosA，bcosB，acosC成等差数列．
（Ⅰ）求角B的值；
（Ⅱ）设函数f（x）=$\sqrt{3}$sinxcosx-$\frac{1}{2}$cos2x，求f（A）的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由等差数列及正弦定理，得到B
（Ⅱ）化简f（x），由B的值，得到A的取值范围，由此得到f（A）的范围．

解答 解：（I）∵ccosA，bcosB，acosC成等差数列，
∴2bcosB=ccosA+acosC．
在△ABC中，由正弦定理a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，R为△ABC外接圆的半径，
可得：2sinBcosB=sinCcosA+sinAcosC，
∴2sinBcosB=sin（A+C），
又A+C=π-B，
∴2sinBcosB=sin（π-B）=sinB，
∵$0＜B＜\frac{π}{2}$，∴sinB≠0，
∴$cosB=\frac{1}{2}$，∴$B=\frac{π}{3}$．
（ II）$f（x）=\sqrt{3}sinxcosx-\frac{1}{2}cos2x=\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x-\frac{1}{2}cos2x$
=$sin（2x-\frac{π}{6}）$．
∴$f（A）=sin（2A-\frac{π}{6}）$，∵$B=\frac{π}{3}$，
∴$C=\frac{2π}{3}-A$，又$0＜A＜\frac{π}{2}，0＜C＜\frac{π}{2}$，
∴$0＜\frac{2π}{3}-A＜\frac{π}{2}$，∴$\frac{π}{6}＜A＜\frac{π}{2}$，
∴$\frac{π}{6}＜2A-\frac{π}{6}＜\frac{5π}{6}$，
∴$\frac{1}{2}＜sin（2A-\frac{π}{6}）≤1$，
故f（A）的取值范围为$（\frac{1}{2}，1]$．

点评 本题考查由等差数列及正弦定理、三角函数化简．