Question

8．已知函数f（x）=-3x²+a（5-a）x+b．
（1）当关于x的不等式f（x）＞0的解集为（-1，3）时，求实数a，b的值；
（2）若对任意实数a，不等式f（2）＜0恒成立，求实数b的取值范围；
（3）设b为常数，求关于a的不等式f（1）＜0的解集．

Answer 1

分析 （1）根据题意并结合一元二次不等式与一元二方程的关系，可得方程-3x²+a（5-a）x+b=0的两根分别为-1和3，由此建立关于a、b的方程组并解之，即可得到实数a、b的值；
（2）由f（2）=-12+2a（5-a）+b＜0对任意实数a恒成立，得b＜2a²-10a+12对任意实数a恒成立，利用配方法求出不等式右边二次三项式的最小值可得b的范围；
（3）由f（1）＜0，得a²-5a-b+3＞0，然后对△分类讨论得到答案．

解答 解：（1）由不等式f（x）＞0的解集为（-1，3），
得-3x²+a（5-a）x+b＞0的解集为（-1，3），
可得-1，3为方程-3x²+a（5-a）x+b=0的两根，
由根与系数的关系得：$\left\{\begin{array}{l}{\frac{a（5-a）}{3}=2}\\{-\frac{b}{3}=-3}\end{array}\right.$，解得a=2，b=9或a=3，b=9；
（2）由f（2）=-12+2a（5-a）+b＜0对任意实数a恒成立，
得b＜2a²-10a+12对任意实数a恒成立，
令g（a）=2a²-10a+12=$2（a-\frac{5}{2}）^{2}+\frac{19}{2}≥\frac{19}{2}$，
∴b＜$\frac{19}{2}$．
∴实数b的取值范围为（-∞，$\frac{19}{2}$）；
（3）由f（1）＜0，得a²-5a-b+3＞0，
△=（-5）²-4（-b+3）=13+4b，
①当△＜0，即b＜-$\frac{13}{4}$时，a∈R；
②当△=0，即b=-$\frac{13}{4}$时，解集为{a|a≠$\frac{5}{2}$，a∈R}；
③当△＞0，即b＞-$\frac{13}{4}$时，解集为{a|a＞$\frac{5+\sqrt{4b+13}}{2}$，或a＜$\frac{5-\sqrt{4b+13}}{2}$}．

点评 本题考查恒成立问题，考查数学转化思想方法和分类讨论的数学思想方法，考查了一元二次不等式的应用、一元二次不等式与一元二方程的关系等知识，属于中档．