Question

17．在△ABC中，$3（{{{sin}^2}B+{{sin}^2}C-{{sin}^2}A}）=2\sqrt{3}sinBsinC$，且△ABC的面积为$\sqrt{6}+\sqrt{2}$，则BC边上的高的最大值为$\sqrt{3}+1$．

Answer 1

分析 由正弦定理化简已知的等式，得到关于a，b及c的关系式，然后再利用余弦定理表示出cosA，利用同角三角函数基本关系式可求sinA，进而利用三角形面积公式可求bc的值，利用余弦定理，基本不等式可求a的最小值，结合三角形面积公式即可得解BC边上的高的最大值．

解答 解：∵$3（{{{sin}^2}B+{{sin}^2}C-{{sin}^2}A}）=2\sqrt{3}sinBsinC$，
∴根据正弦定理化简已知等式得：3b²+3c²-3a²=2$\sqrt{3}$bc，
∴cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{\frac{2\sqrt{3}bc}{3}}{2bc}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，可得：sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∵△ABC的面积为$\sqrt{6}+\sqrt{2}$=$\frac{1}{2}$bcsinA=bc×$\frac{1}{2}×\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴解得：bc=6+2$\sqrt{3}$，
又∵由余弦定理可得：a=$\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}-2bccosA}$=$\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}-2×bc×（\frac{\sqrt{3}}{3}）}$≥$\sqrt{2bc-\frac{2\sqrt{3}}{3}bc}$=2$\sqrt{2}$，（当且仅当b=c等号成立）
∴BC边上的高h=$\frac{2S}{a}$≤$\frac{2（\sqrt{6}+\sqrt{2}）}{2\sqrt{2}}$=$\sqrt{3}+1$，（当且仅当b=c等号成立）．
∴BC边上的高的最大值为$\sqrt{3}+1$．
故答案为：$\sqrt{3}+1$．

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式，三角形面积公式，基本不等式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，熟练掌握定理是解本题的关键，属于中档题．