Question

18．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-x，x＜0}\\{\sqrt{x}，x≥0}\end{array}\right.$，若关于x的方程f（x）=a（x+1）有三个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（0，$\frac{1}{2}$）．

Answer 1

分析 作出函数f（x）的图象，关于x的方程f（x）=a（x+1）有三个不相等的实数根，即为直线y=a（x+1）与曲线y=$\sqrt{x}$相交时，与f（x）的图象有三个交点，求出直线与曲线y=$\sqrt{x}$相切时的斜率，即可得到a的取值范围．

解答 解：作出函数f（x）的图象，如右图：
作出直线y=a（x+1），则直线恒过（-1，0），
关于x的方程f（x）=a（x+1）有三个不相等的实数根，即为当直线与曲线y=$\sqrt{x}$相交时，
与f（x）的图象有三个交点，
当直线与曲线y=$\sqrt{x}$相切时，
设切点为（m，$\sqrt{m}$），
则y′=$\frac{1}{2}•\frac{1}{\sqrt{x}}$，则切线斜率为$\frac{1}{2}•\frac{1}{\sqrt{m}}$=a，
又a（m+1）=$\sqrt{m}$，由此解得，
a=$\frac{1}{2}$（负的舍去），
故a的取值范围是（0，$\frac{1}{2}$）．
故答案为（0，$\frac{1}{2}$）．

点评 本题考查分段函数及运用，考查分段函数的图象和应用，考查数形结合的思想方法，以及运用导数求切线方程，属于中档题．