Question

（本题满分14分）已知正项数列中，，点在抛物线上．数列中，点在经过点，以为方向向量的直线上．

（Ⅰ）求数列，的通项公式；

（Ⅱ）若，问是否存在，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由；

（Ⅲ）对任意的正整数，不等式成立，求正数的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）；；（Ⅱ）存在唯一的符合条件；（Ⅲ）.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）求数列，的通项公式，可将点代入抛物线，得，由此能求出；过点，以方向向量为的直线方程为，把点代入能求出；（Ⅱ）这是探索性命题，一般先假设存在，由，利用题设条件能推导出存在唯一的符合条件；（Ⅲ）由，知，设，得，利用构造法能求出正数的取值范围．

试题解析：（Ⅰ）将点代入抛物线得：

数列是等差数列．

，即

为直线的方向向量直线的斜率，直线的方程为

在直线上．

（Ⅱ）由题

①当是偶数时，是奇数，即，②当是奇数时，是偶数，即（舍去）

故存在唯一的符合条件．

（Ⅲ）由题

设，

则

，即数列是递增数列．

考点：求数列通项公式，数列综合问题，数列与不等式.