Question

17．已知过椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的焦点F₁，F₂的两条互相垂直的直线的交点在椭圆内部（不包括边界）则此椭圆的离心率的取值范围是（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）．

Answer 1

分析 由题意可知：O为圆心以F₁F₂为直径的圆与椭圆没有交点，即|OP|=c＜b，则c²＜b²=a²-c²，即a²＞2c²，求得a＞$\sqrt{2}$c，e=$\frac{c}{a}$＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$，由0＜e＜1．即可求得椭圆的离心率的取值范围．

解答 解：由题意可知椭圆内存在点P使得直线PF₁与直线PF₂垂直，
∴O为圆心以F₁F₂为直径的圆与椭圆没有交点，
∴|OP|=c＜b，
∴c²＜b²=a²-c²，即a²＞2c²，
∴a＞$\sqrt{2}$c，
∴e=$\frac{c}{a}$＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
由0＜e＜1．
∴0＜e＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故答案为：（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$）．

点评 本题考查椭圆的简单几何性质，考查椭圆离心率的求法，考查学生分析问题及解决问题的能力，属于中档题．