Question

20．如图，在△ABC中，AB=AC，△ABC的外接圆是⊙O，D是劣弧$\widehat{AC}$上的一点，弦AD，BC的延长线相交于点E，连结BD并延长到点F，连结CD．
（1）求证：DE平分∠CDF；
（2）求证：AB²=AD•AE．

Answer 1

分析 （1）推导出∠ABC=∠DEC，∠ABC=∠ADB，∠ADB=∠EDF，由此能证明DE平分∠CDF．
（2）由∠ABE=∠ADB，∠BAD=∠BAE，得△ABD∽△ABE，由此能证明AB²=AD•AE．

解答 证明：（1）∵圆O是四边形ABCD的外接圆，
∴∠ABC=∠DEC，
∵AB=AC，∴∠ABC=∠ADB，
∵∠ADB与∠EDF是对顶角，∴∠ADB=∠EDF，
∴∠DEC=∠EDF，
∴DE平分∠CDF．
（2）∵∠ABE=∠ADB，∠BAD=∠BAE，
∴△ABD∽△ABE，
∴$\frac{AB}{AE}=\frac{AD}{AB}$，
∴AB²=AD•AE．

点评 本题考查角平分线的证明，考查一条线段的平方是另两条线段乘积的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用．