Question

12．已知函数f（x）=lnx，g（x）=f（x）+ax²-（2a+1）x．
（1）讨论函数g（x）的单调性；
（2）若$a＜\frac{1}{2}$时，函数g（x）在（0，e]上的最大值为1，求a的值．

Answer 1

分析 （1）求出函的导数，通过讨论a的范围，确定函数的单调区间即可；
（2）根据a的范围，确定导数的符号，求出函数的单调区间，得到函数的最大值，从而求出a的值即可．

解答 解：（1）g（x）的定义域为（0，+∞），
${g^'}（x）=\frac{{2a{x^2}-（2a+1）x+1}}{x}=\frac{（2ax-1）（x-1）}{x}$
①当a=0时，${g^'}（x）=\frac{-x+1}{x}$，
当$\begin{array}{l}x∈（0，1），{g^'}（x）＞0，g（x）在（0，1）上单调递增；\\ x∈（1，+∞），{g^'}（x）＜0，g（x）在（1，+∞）上单调递减；\end{array}$
②当$0＜a＜\frac{1}{2}$，此时$\frac{1}{2a}＞1$，
$\begin{array}{l}x∈（0，1）∪（\frac{1}{2a}，+∞），{g^'}（x）＞0，g（x）在（0，1）和（\frac{1}{2a}，+∞）上单调递增；\\ x∈（1，\frac{1}{2a}），{g^'}（x）＜0，g（x）在（1，\frac{1}{2a}）上单调递减；\end{array}$
③当$a=\frac{1}{2}$，此时$\frac{1}{2a}=1$，x∈（0，+∞），g′（x）＞0，
g（x）在（0，+∞）上单调递增；
④当$a＞\frac{1}{2}$，此时$\frac{1}{2a}＜1$，
$\begin{array}{l}x∈（0，\frac{1}{2a}）∪（1，+∞），{g^'}（x）＞0，g（x）在（0，\frac{1}{2a}）和（1，+∞）上单调递增；\\ x∈（\frac{1}{2a}，1），{g^'}（x）＜0，g（x）在（\frac{1}{2a}，1）上单调递减；\end{array}$
⑤当a＜0时，此时$\frac{1}{2a}＜1$，
$\begin{array}{l}x∈（0，1）{g^'}（x）＞0，g（x）在（0，1）上单调递增；\\ x∈（1，+∞），{g^'}（x）＜0，g（x）在（1，+∞）上单调递减；\end{array}$
…（7分）
（2）由第（1）知
①当a≤0时g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，e）上单调递减，
故g（x）_max=g（1）=a-2a-1=1，则a=-2
②当$0＜a≤\frac{1}{2e}$，此时$\frac{1}{2a}≥e$，
g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，e）上单调递减，
g（x）_max=g（1）＜0矛盾，
③当$\frac{1}{2e}＜a＜\frac{1}{2}$，此时$1＜\frac{1}{2a}＜e$$g（x）在（0，1）和（\frac{1}{2a}，e）上单调递增，在（1，\frac{1}{2a}）上单调递减$；
g（x）最大值可能在x=1或x=e处取得，
而g（1）=ln1+a-（2a+1）＜0，
故$g{（x）_{max}}=g（e）=lne+a{e^2}-（2a+1）e=1$，
则$a=\frac{1}{e-2}$与$0＜a≤\frac{1}{2e}$矛盾，舍去，
综上所述：a=-2                                              …．（12分）

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道综合题．