Question

6．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系． 已知直线l的极坐标方程为ρ（sinθ-3cosθ）=0，曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=t-\frac{1}{t}}\\{y=t+\frac{1}{t}}\end{array}\right.$  （t为参数），l与C相交于A，B两点，求|AB|的值．

Answer 1

分析 利用x=ρcosθ，y=ρsinθ将直线l方程化成普通方程，曲线C消去参数t化成普通方程，l与C相交于A，B两点，联立方程组，求解A，B坐标，利用两点之间的距离公式求解|AB|即可．

解答 解：直线l的极坐标方程为ρ（sinθ-3cosθ）=0，即ρsinθ-3ρcosθ）=0
根据x=ρcosθ，y=ρsinθ，
可得：y-3x=0．
曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=t-\frac{1}{t}}\\{y=t+\frac{1}{t}}\end{array}\right.$  （t为参数），消去参数t，得：y²-x²=4
联立方程组：$\left\{\begin{array}{l}{y-3x=0}\\{{y}^{2}-{x}^{2}=4}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{y=\frac{3\sqrt{2}}{2}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{\sqrt{2}}{2}}\\{y=-\frac{3\sqrt{2}}{2}}\end{array}\right.$
即A：（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{3\sqrt{2}}{2}$），B（$-\frac{\sqrt{2}}{2}$，$-\frac{3\sqrt{2}}{2}$）
由两点间的距离公式得：|AB|=$\sqrt{（\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}）^{2}+（\frac{3\sqrt{2}}{2}+\frac{3\sqrt{2}}{2}）^{2}}=2\sqrt{5}$．

点评 本题考查了参数方程化为普通方程的求法和两点间的距离公式的计算．属于基础题．