Question

9．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a，b，c，a=2，且（2+b）（sinA-sinB）=（c-b）sinC，则△ABC面积的最大值为$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由条件利用正弦定理可得b²+c²-bc=4．再由余弦定理可得A=$\frac{π}{3}$，利用基本不等式可得bc≤4，当且仅当b=c=4时，取等号，此时，△ABC为等边三角形，从而求得它的面积的值．

解答 解：△ABC中，∵a=2，且（2+b）（sinA-sinB）=（c-b）sinC，
∴利用正弦定理可得（2+b）（a-b）=（c-b）c，
即 b²+c²-bc=4，即b²+c²-4=bc，
∴cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{bc}{2bc}$=$\frac{1}{2}$，
∴A=$\frac{π}{3}$．
再由b²+c²-bc=4，利用基本不等式可得 4≥2bc-bc=bc，
∴bc≤4，当且仅当b=c=2时，取等号，
此时，△ABC为等边三角形，
它的面积为 $\frac{1}{2}$bc•sinA=$\frac{1}{2}$×4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$．
故答案为：$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查正弦定理的应用，基本不等式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于中档题．