Question

设数列{a_n}满足关系：an=

3

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an-1+5(n≥2)，a1=-

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（1）令b_n=a_n+10，求证：{b_n}是等比数列；
（2）问数列{a_n}从第几项开始大于零？
（下列数据供计算时参考：lg2=0.3010，lg3=0.4771）

Answer 1

分析：（1）利用已知递推式变形b_n=a_n+10=

3

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an-1+15=

3

2

(an-1+10)=

3

2

bn-1即可证明；
（2）利用（1）即可得到b_n，进而得到a_n，两边去对数即可得出．

解答：解：（1）a1=-

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，an=

3

2

an-1+5
由b n=an+10，则bn=an+10=

3

2

an-1+15=

3

2

(an-1+10)
于是有bn=

3

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bn-1，又b1=a1+10=10-

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=

3

2

由等比数列可知，数列{b_n}是以首项为

3

2

，公比为

3

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的等比数列．
（2）由（1）可知bn=

3

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bn-1，b1=

3

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，则bn=(

3

2

)n，
∴an=(

3

2

)n-10＞0，则(

3

2

)n＞10两边取对数 n（lg3-lg2）＞1（0.4771-0.3010）•n＞1，0.1761n＞1，而n∈N，∴n≥6
因此数列{a_n}从第6项开始大于零．

点评：正确理解递推式的意义、等比数列的定义及其通项公式、对数的运算性质等是解题的关键．