Question

11．棱长为a的正四面体中，给出下列命题：
①正四面体的体积为V=$\frac{a^3}{24}$；
②正四面体的表面积为S=$\sqrt{3}$a²；
③内切球与外接球的表面积的比为1：9；
④正四面体内的任意一点到四个面的距离之和均为定值．
上述命题中真命题的序号为②③④．

Answer 1

分析 ①正四面体的高h=$\sqrt{{a}^{2}-（\frac{2}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}a）^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$a，体积为V=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{6}}{3}a×\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^{2}$，计算即可判断出正误；
②正四面体的表面积为S=$4×\frac{\sqrt{3}}{4}×{a}^{2}$，即可判断出正误；
③分别设内切球与外接球的半径为r，R，则4×$\frac{1}{3}r×$$\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{12}$a³，解得r；R+$\sqrt{{R}^{2}-（\frac{\sqrt{3}}{3}a）^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$a，解得R，即可判断出正误；
④正四面体内的任意一点到四个面的距离之和为H，则$\frac{1}{3}$×H×$\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^{2}$=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^{2}$×$\sqrt{{a}^{2}-（\frac{2}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}a）^{2}}$，化简即可判断出正误．

解答 解：①正四面体的高h=$\sqrt{{a}^{2}-（\frac{2}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}a）^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$a，体积为V=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{6}}{3}a×\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{12}$a³≠$\frac{a^3}{24}$，因此不正确；
②正四面体的表面积为S=$4×\frac{\sqrt{3}}{4}×{a}^{2}$=$\sqrt{3}$a²，正确；
③分别设内切球与外接球的半径为r，R，则4×$\frac{1}{3}r×$$\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^{2}$=$\frac{\sqrt{2}}{12}$a³，解得r=$\frac{\sqrt{6}}{12}$a；R+$\sqrt{{R}^{2}-（\frac{\sqrt{3}}{3}a）^{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$a，解得R=$\frac{\sqrt{6}}{4}$a．
∴r：R=1：3，因此表面积的比为1：9，正确；
④正四面体内的任意一点到四个面的距离之和为H，则$\frac{1}{3}$×H×$\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^{2}$=$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^{2}$×$\sqrt{{a}^{2}-（\frac{2}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}a）^{2}}$，化简可得：H=$\frac{\sqrt{6}}{3}$a，即为正四面体的高，均为定值，正确．
上述命题中真命题的序号为②③④．
故答案为：②③④．

点评 本题考查了等边三角形的性质、正四面体的性质、球的性质、勾股定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．