Question

12．（1）7位同学站成一排，甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？
（2）7位同学站成一排，甲、乙和丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种？
（3）7位同学站成一排，甲不站排头，乙不站排尾，不同站法种数有多少种？

Answer 1

分析 对这几个事件不同排法和数的计算，根据分步原理与分类原理直接计算即可．

解答 解　（1）先将甲、乙两位同学“捆绑”在一起看成一个元素与其余的5个元素（同学）一起进行全排列有A₆⁶种方法；
再将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有A₂²种方法．所以这样的排法一共有A₆⁶A₂²=1440种．
（2）将甲、乙和丙三个同学插入到除甲、乙和丙之外4人全排所形成的5个空中的3个，故有A₄⁴A₅³=1440种．
（3）甲站排头，或乙站排尾有2A₆⁶-A₅⁵种不同的排法，
∴甲不站排头，且乙不站排尾有：$A_7^7-2A_6^6+A_5^5=3720$种不同的排法．

点评 本题考查排列、组合及简单计数问题，本题在计数时根据具体情况选用了捆绑法等方法，做题时要注意体会这些方法的原理及其实际意义，属于中档题．