Question

20．如图，将两个全等的有一锐角为30°的直角三角形ABC和直角三角形ADC 拼在一起组成平面四边形ABCD，若$\overrightarrow{CA}$=x$\overrightarrow{CB}$+y$\overrightarrow{CD}$，则x+y=（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 由条件即可得出BD⊥CA，从而可分别以BD，CA所在直线为x轴，y轴，建立平面直角坐标系，并设AB=2，这样即可求出图中各点的坐标，进而得出向量$\overrightarrow{CA}，\overrightarrow{CB}，\overrightarrow{CD}$的坐标，带入$\overrightarrow{CA}=x\overrightarrow{CB}+y\overrightarrow{CD}$进行向量数乘的坐标运算便可求出x+y的值．

解答 解：由题意可知，BD⊥CA；
∴分别以BD，CA所在直线为x，y轴，建立如图所示平面直角坐标系，设AB=2，则：
OA=$\sqrt{3}$，OB=OD=1，$OC=\frac{\sqrt{3}}{3}$；
∴$A（0，\sqrt{3}），B（-1，0），C（0，-\frac{\sqrt{3}}{3}），D（1，0）$；
∴$\overrightarrow{CA}=（0，\frac{4\sqrt{3}}{3}），\overrightarrow{CB}=（-1，\frac{\sqrt{3}}{3}）$，$\overrightarrow{CD}=（1，\frac{\sqrt{3}}{3}）$；
∴由$\overrightarrow{CA}=x\overrightarrow{CB}+y\overrightarrow{CD}$得，$（0，\frac{4\sqrt{3}}{3}）=（y-x，\frac{\sqrt{3}}{3}（x+y））$；
∴$\left\{\begin{array}{l}{y-x=0}\\{\frac{\sqrt{3}}{3}（x+y）=\frac{4\sqrt{3}}{3}}\end{array}\right.$；
解得，x+y=4；
故选D．

点评 考查等腰三角形的中线也是高线，通过建立平面直角坐标系，利用坐标解决向量问题的方法，三角函数的定义，能求平面上点的坐标，根据点的坐标求向量的坐标，以及向量数乘的坐标运算．