Question

7．在下列三个说法中：
①已知A、B、C、D是空间的任意四点，则$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{CD}$+$\overrightarrow{DA}$=$\overrightarrow 0$．
②若{$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$，$\overrightarrow c$}为空间的一组基底，则{$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$，$\overrightarrow b$+$\overrightarrow c$，$\overrightarrow c$+$\overrightarrow a$}也构成空间的一组基底．
③|（$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$）|•$\overrightarrow c$=|$\overrightarrow a$|•|$\overrightarrow b$|•|$\overrightarrow c$|．
其中正确说法的个数是（　　）

• A． 3
• B． 2
• C． 1
• D． 0

Answer 1

分析 由向量的加法法则判断①；由{$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$，$\overrightarrow c$}为空间的一组基底，知$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$，$\overrightarrow c$不共面，可得$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$，$\overrightarrow b$+$\overrightarrow c$，$\overrightarrow c$+$\overrightarrow a$不共面，由此说明{$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$，$\overrightarrow b$+$\overrightarrow c$，$\overrightarrow c$+$\overrightarrow a$}也构成空间的一组基底判断②；由等式左边表示向量，右边是实数判断③．

解答 解：对于①，已知A、B、C、D是空间的任意四点，则$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{BC}$+$\overrightarrow{CD}$+$\overrightarrow{DA}$=$\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CD}+\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DA}$=$\overrightarrow 0$，故①正确．
对于②，若{$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$，$\overrightarrow c$}为空间的一组基底，则$\overrightarrow a$，$\overrightarrow b$，$\overrightarrow c$不共面，
∴$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$，$\overrightarrow b$+$\overrightarrow c$，$\overrightarrow c$+$\overrightarrow a$不共面，则{$\overrightarrow a$+$\overrightarrow b$，$\overrightarrow b$+$\overrightarrow c$，$\overrightarrow c$+$\overrightarrow a$}也构成空间的一组基底，故②正确．
对于③，|（$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$）|•$\overrightarrow c$是向量，而|$\overrightarrow a$|•|$\overrightarrow b$|•|$\overrightarrow c$|是数，∴|（$\overrightarrow a$•$\overrightarrow b$）|•$\overrightarrow c$≠|$\overrightarrow a$|•|$\overrightarrow b$|•|$\overrightarrow c$|，故③错误．
∴正确说法的个数是2个．
故选：B．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，考查向量的运算法则、向量的几何意义、空间向量基本定理等知识，是中档题．