Question

5．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{\sqrt{2}}{2}+rcosθ}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}+rsinθ}\end{array}$（θ为参数，r＞0），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴，并取相同的长度单位建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（1）求圆心的极坐标；
（2）若圆C上的点到直线l的最大距离为2$\sqrt{2}$，求r的值．

Answer 1

分析 （1）求出圆C：（x+$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²+（y-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²=r²，从而圆心C（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），由此能求出圆心的极坐标．
（2）直线l的直角坐标方程为x+y=1．由此利用圆C上的点到直线l的最大距离为2$\sqrt{2}$，能求出r的值．

解答 解：（1）∵在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{\sqrt{2}}{2}+rcosθ}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}+rsinθ}\end{array}$（θ为参数，r＞0），
∴（x+$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²+（y-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²=r²，
∴圆心C（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
∴${ρ}^{2}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$，tanθ=$\frac{y}{x}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{-\frac{\sqrt{2}}{2}}$=-1，$θ=\frac{3π}{4}$，
∴圆心的极坐标为（1，$\frac{3π}{4}$）．
（2）∵直线l的极坐标方程为ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴$ρ（sinθcos\frac{π}{4}+cosθsin\frac{π}{4}）$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴ρsinθ+ρcosθ=1，∴x+y=1．
∵圆C上的点到直线l的最大距离为2$\sqrt{2}$，
∴r+$\frac{|-\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}-1|}{\sqrt{2}}$=2$\sqrt{2}$，解得r=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查圆心的极坐标的求法，考查圆的半径的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意参数方程、直角坐标方程、极坐标方程的互化和点到直线的距离公式的合理运用．