Question

设函数f（x）=

1，x∈[1，2] x-1，x∈(2，3]

，对任意的a（a∈R），记u（a）=max{f（x）-ax|x∈[1，3]}-min{f（x）-ax|x∈[1，3]}，求出u（a）的最小值．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：先求出g（x）=f（x）-ax，再分类求出函数的最大值与最小值，可得分段函数，即可求得u（a）的最小值．

解答： 解：由题意，g（x）=f（x）-ax=

1-ax，1≤x≤2 (1-a)x-1，2＜x≤3

∵1≤x≤2时，g（x）=1-ax，函数单调递减，∴g（x）∈[1-2a，1-a]
2＜x≤3时，g（x）=（1-a）x-1，函数单调递增，∴g（x）∈（1-2a，2-3a]
若1-a＜2-3a，即a＜

1

2

时，g（x）_max=2-3a；
若1-a≥2-3a，即a≥

1

2

时，g（x）_max=1-a；
∴函数g（x）的最大值与最小值的差为u（a）=

1-a，a＜ 1 2 a，a≥ 1 2

∴u（a）的最小值是

1

2

．

点评：本题考查函数的最值，考查分类讨论的数学思想，考查学生的计算能力，属于中档题．