Question

14．已知点F是抛物线C：x²=2py（p＞0）的焦点，点P（x₀，y₀）是抛物线C上的动点，抛物线C在点P处的切线为直线l．
（1）若直线l与x轴交于点Q，求证：FQ⊥l；
（2）作平行于l的直线L交抛物线C于M，N两点，记点F到l、L的距离分别为d、D，若D=2d，求线段MN中点的轨迹方程．

Answer 1

分析 （1）由题意求出抛物线的焦点坐标及准线方程，利用导数求出过抛物线上一点P（x₀，$\frac{{x}_{0}^{2}}{2p}$）的切线的斜率k，写出切线方程，得到Q的坐标，进一步求出FQ的斜率，由k_FQ×k=-1可得FQ⊥l；
（2）由（1）可设直线L的方程为y=$\frac{{x}_{0}}{p}x+b$，求得d，得到D=$\sqrt{{p}^{2}+{{x}_{0}}^{2}}$．再由点到直线的距离公式得D=$\frac{|-\frac{{p}^{2}}{2}+b|}{\sqrt{{{x}_{0}}^{2}+{p}^{2}}}$=$\sqrt{{p}^{2}+{{x}_{0}}^{2}}$，求出b，得到直线方程，与抛物线方程联立，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN的中点为（x′，y′），利用根与系数的关系即可求得线段MN中点的轨迹方程．

解答 （1）证明：由题意可知：抛物线C：x²=2py的焦点F（0，$\frac{p}{2}$），准线为：y=-$\frac{p}{2}$，
过抛物线上一点P（x₀，$\frac{{x}_{0}^{2}}{2p}$），作抛物线的切线，
则切线的斜率k=$y′{丨}_{x={x}_{0}}$=$\frac{{x}_{0}}{p}$，
切线方程为：y-$\frac{{x}_{0}^{2}}{2p}$=$\frac{{x}_{0}}{p}$（x-x₀），交x轴于Q（$\frac{{x}_{0}}{2}$，0），
则直线FQ的斜率k_FQ=$\frac{\frac{p}{2}-0}{0-\frac{{x}_{0}}{2}}$=-$\frac{p}{{x}_{0}}$，
∵k_FQ×k=-1，∴FQ⊥l；
（2）解：由（1）可设直线L的方程为y=$\frac{{x}_{0}}{p}x+b$，
∵d=$\sqrt{（\frac{p}{2}）^{2}+（\frac{{x}_{0}}{2}）^{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{{p}^{2}+{{x}_{0}}^{2}}$，∴D=$\sqrt{{p}^{2}+{{x}_{0}}^{2}}$．
由点到直线的距离公式得D=$\frac{|-\frac{{p}^{2}}{2}+b|}{\sqrt{{{x}_{0}}^{2}+{p}^{2}}}$=$\sqrt{{p}^{2}+{{x}_{0}}^{2}}$，
整理得：$|-\frac{{p}^{2}}{2}+b|={p}^{2}+{{x}_{0}}^{2}$，
∴$-\frac{{p}^{2}}{2}+b=±（{p}^{2}+{{x}_{0}}^{2}）$，则b=$\frac{3{p}^{2}}{2}+{{x}_{0}}^{2}$或b=$-\frac{{p}^{2}}{2}-{{x}_{0}}^{2}$（舍）．
∴直线L的方程为$y=\frac{{x}_{0}}{p}x+\frac{3{p}^{2}}{2}+{{x}_{0}}^{2}$．
联立$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}=2py}\\{y=\frac{{x}_{0}}{p}x+\frac{3{p}^{2}}{2}+{{x}_{0}}^{2}}\end{array}\right.$，得${x}^{2}+2{x}_{0}x+3{p}^{3}+2p{{x}_{0}}^{2}=0$．
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN的中点为（x′，y′），
则$x′=\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}=-{x}_{0}$，$y′=-\frac{{{x}_{0}}^{2}}{p}+\frac{3}{2}{p}^{2}+{{x}_{0}}^{2}$，
消去x₀，得$y′=\frac{p-1}{p}（x′）^{2}+\frac{3}{2}{p}^{2}$．
∴线段MN中点的轨迹方程为$y=\frac{p-1}{p}{x}^{2}+\frac{3}{2}{p}^{2}$．

点评 本题考查轨迹方程的求法，考查了直线与抛物线位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．