Question

已知函数f（x）=mx³+nx²（m，n∈R）在x=2时有极值，其图象在点（1，f（1））处的切线与直线3x+y=0平行．
（1）求m，n的值； 
（2）求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程,利用导数研究函数的单调性,利用导数研究函数的极值

专题：计算题,导数的综合应用

分析：（1）利用函数取得极值的必要条件和导数的几何意义可得f′（2）=0，f′（1）=-3，解出a，b并验证即可；
（2）分别解出f′（x）＞0和f′（x）＜0即，可得出其单调区间．

解答： 解：（1）∵f（x）=mx³+nx²（m，n∈R）
∴f'（x ）=3mx²+2nx，
∵函数f （x ）在x=2时有极值，
∴f'（2 ）=0，即 12m+4n=0，①
∵函数f （x ）的图象在点（1，f （1 ））处的切线与直线3x+y=0平行．
∴f'（1 ）=-3，即3m+2n=-3，②
由①②解得，m=1，n=-3．
经验证满足题意，∴m=1，n=-3．
（2）f'（x ）=3x²-6x=3x （x-2），
令3x（x-2）＞0，解得：x＜0或x＞2，
令3x（x-2）＜0，解得：0＜x＜2．
∴函数f （x ）的单调递增区间为（-∞，0）和（2，+∞），单调递减区间为（0，2）．

点评：本题主要考查导数的综合应用，熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值及其几何意义等是解题的关键．