Question

17．已知|$\overrightarrow{OA}$|=|$\overrightarrow{OB}$|=$\sqrt{2}$，且$\overrightarrow{OA}$$•\overrightarrow{OB}$=1，若点C满足|$\overrightarrow{OA}$$+\overrightarrow{CB}$|=1，则$\overrightarrow{CA}$$•\overrightarrow{CB}$的取值范围是[2-$\sqrt{6}$，2+$\sqrt{6}$]，则$\overrightarrow{OC}$$•\overrightarrow{OB}$的取值范围是[3-$\sqrt{2}$，3+$\sqrt{2}$]．

Answer 1

分析 求出$\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OB}$的夹角，建立平面直角坐标系，设出$\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OB}$的坐标，判断C的轨迹．设出C的坐标，利用向量数量积的公式进行计算即可．

解答 解：∵$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=1，∴$\sqrt{2}×\sqrt{2}$×cos＜$\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OB}$＞=1，∴cos＜$\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OB}$＞=$\frac{1}{2}$．
∴$\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OB}$的夹角为$\frac{π}{3}$．
设$\overrightarrow{OA}=（\sqrt{2}，0）$，$\overrightarrow{OB}$=（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{6}}{2}$），
设$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow{OD}$．则$\overrightarrow{OD}$=$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$=（$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{6}}{2}$），
∴|$\overrightarrow{OD}$|=$\sqrt{6}$，∵|$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{CB}$|=1，∴|$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OC}$|=1，即|$\overrightarrow{OD}$-$\overrightarrow{OC}$|=|$\overrightarrow{CD}$|=1．
∴C在以D为圆心，以1为半径的圆上，
则圆的方程为（x-$\frac{3\sqrt{2}}{2}$）²+（y-$\frac{\sqrt{6}}{2}$）²=1，
则B（$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{6}}{2}$），A（$\sqrt{2}$，0），
设C（x，y），
则$\overrightarrow{CA}$$•\overrightarrow{CB}$=（x-$\sqrt{2}$，y）•（x-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，y-$\frac{\sqrt{6}}{2}$）=（x-$\sqrt{2}$，y）•（x-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）+y（y-$\frac{\sqrt{6}}{2}$）=（x-$\frac{3\sqrt{2}}{4}$）²+（y-$\frac{\sqrt{6}}{4}$）²-$\frac{1}{2}$，
则m=（x-$\frac{3\sqrt{2}}{4}$）²+（y-$\frac{\sqrt{6}}{4}$）²的几何意义为圆C上的点（x，y）到定点E（$\frac{3\sqrt{2}}{4}$，$\frac{\sqrt{6}}{4}$）距离的平方，
则|CE|²=（$\frac{3\sqrt{2}}{2}$-$\frac{3\sqrt{2}}{4}$）²+（$\frac{\sqrt{6}}{2}$-$\frac{\sqrt{6}}{4}$）²=（$\frac{3\sqrt{2}}{4}$）²+（$\frac{\sqrt{6}}{4}$）²=$\frac{3}{2}$，
则|CE|=$\sqrt{\frac{3}{2}}$=，
则圆上点到E的距离的最大值d=$\frac{\sqrt{6}}{2}$+1，最小值为$\frac{\sqrt{6}}{2}$-1
则$\overrightarrow{CA}$$•\overrightarrow{CB}$的最大值为d²-$\frac{1}{2}$=（$\frac{\sqrt{6}}{2}$+1）²-$\frac{1}{2}$=2+$\sqrt{6}$，最小值为d²-$\frac{1}{2}$=（$\frac{\sqrt{6}}{2}$-1）²-$\frac{1}{2}$=2-$\sqrt{6}$，
即$\overrightarrow{CA}$$•\overrightarrow{CB}$的取值范围是[2-$\sqrt{6}$，2+$\sqrt{6}$]，
$\overrightarrow{OC}$$•\overrightarrow{OB}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x+$\frac{\sqrt{6}}{2}$y，
设z=$\frac{\sqrt{2}}{2}$x+$\frac{\sqrt{6}}{2}$y，
则$\sqrt{2}$x+$\sqrt{6}$y-2z=0，
则由圆心D（$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，$\frac{\sqrt{6}}{2}$）到直线$\sqrt{2}$x+$\sqrt{6}$y-2z=0得距离d≤1得，
$\frac{|\frac{3\sqrt{2}}{2}×\sqrt{2}+\sqrt{6}×\frac{\sqrt{6}}{2}-2z|}{\sqrt{（\sqrt{2}）^{2}+（\sqrt{6}）^{2}}}$=$\frac{|6-2z|}{2\sqrt{2}}$≤1，
得|z-3|≤$\sqrt{2}$，
即-$\sqrt{2}$≤z-3≤$\sqrt{2}$，
得3-$\sqrt{2}$≤z≤3+$\sqrt{2}$，
即$\overrightarrow{OC}$$•\overrightarrow{OB}$的取值范围是[3-$\sqrt{2}$，3+$\sqrt{2}$]，
故答案为：[2-$\sqrt{6}$，2+$\sqrt{6}$]，[3-$\sqrt{2}$，3+$\sqrt{2}$]

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，建立平面直角坐标系，判断C点轨迹是关键，设出C的坐标，利用向量数量积的公式进行运算是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．