Question

11．已知A，B，C是抛物线y²=4x上不同的三点，且AB∥y轴，∠ACB=90°，点C在AB边上的射影为D，则|AD|•|BD|=（　　）

• A． 16
• B． 8
• C． 4
• D． 2

Answer 1

分析 设出A，B，C三点坐标，求出$\overrightarrow{CA}，\overrightarrow{CB}$，根据∠ACB=90°列方程得出三点横坐标的关系得出|CD|，利用相似三角形得出|AD|•|BD|=|CD|²．

解答 解：设A（4t²，4t），B（4t²，-4t），C（4m²，4m），
∴$\overrightarrow{CA}$=（4t²-4m²，4t-4m），$\overrightarrow{CB}$=（4t²-4m²，-4t-4m）．
∵∠ACB=90°，∴$\overrightarrow{CA}•\overrightarrow{CB}=0$．
∴16（t²-m²）²-16（t²-m²）=0，∴m²-t²=-1或m²-t²=0（舍）．
∴|CD|=4|t²-m²|=4，
在Rt△ABC中，∵CD⊥AB，
∴△ACD∽△CBD，
∴$\frac{AD}{CD}=\frac{CD}{BD}$，
∴|AD|•|BD|=|CD|²=16．
故选：A．

点评 本题考查了抛物线的性质，直线与抛物线的关系，属于中档题．