Question

11．设集合M={a|a=b²-c²，b，c∈Z}，试问：
（1）8，9，10是否属于M？
（2）奇数是否属于M，为什么？

Answer 1

分析 （1）将a=8，9，10分别代入关系式a=b²-c²验证，若满足关系式则属于M；若不满足关系式则不属于M；（2）设奇数为2n+1，n∈Z，则恒有2n+1=（n+1）²-n²，根据集合M元素的性质，可得奇数a∈M．

解答 解：（1）∵8=3²-1，9=5²-4²，∴8∈M，9∈M，
假设10=b²-c²，b、c∈Z，
则（|b|+|c|）（|b|-|c|）=10，且|b|+|c|＞|b|-|c|＞0，
∵10=1×10=2×5，∴$\left\{\begin{array}{l}{|b|+|c|=1}\\{|b|-|c|=10}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{|b|+|c|=2}\\{|b|-|c|=5}\end{array}\right.$，
显然均无整数解，则10∉M，
∴8∈M，9∈M，10∉M，
（2）设奇数为2n+1，n∈Z，
则恒有2n+1=（n+1）²-n²，∴2n+1∈M，
即一切奇数都属于M．

点评 本题考查元素与集合关系的判断、奇数等基础知识，考查化归与转化思想．属于中档题．