Question

如图，在四棱锥C-ABDE中，F为CD的中点，DB⊥平面ABC，BD∥AE，BD=2AE．
（Ⅰ）求证：EF∥平面ABC；
（Ⅱ）若AB=BC=CA=BD=6，求点A到平面ECD的距离．

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算,直线与平面平行的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）取BC中点G点，连接AG，FG，由F，G分别为DC，BC中点，知FG∥BD且FG=

1

2

BD，又AE∥BD且AE=

1

2

BD，故AE∥FG且AE=FG，由此能够证明EF∥平面ABC．
（Ⅱ）取AB的中点O和DE的中点H，分别以OC、OB、OH所在直线为x、y、z轴建立如图空间直角坐标系，求出面CDE的法向

n1

=（

3

，-1，2），

AE

=（0，0，3），利用向量法能求出点A到平面CDE的距离．

解答： （1）证明：取BC中点G点，连接AG，FG，
∵F，G分别为DC，BC中点，
∴FG∥BD且FG=

1

2

BD，
又AE∥BD且AE=

1

2

BD，
∴AE∥FG且AE=FG，
∴四边形EFGA为平行四边形，则EF∥AG，
又∵AG?平面ABC，EF?平面ABC，
∴EF∥平面ABC．

（Ⅱ）解：取AB的中点O和DE的中点H，
分别以OC、OB、OH所在直线为x、y、z轴建立如图空间直角坐标系，
则C（3

3

，0，0），D（0，3，6），E（0，-3，3），A（0，-3，0），
∴

CD

=（-3

3

，3，6），

ED

=（0，6，3）．
设面CDE的法向量

n1

=（x，y，z），
则

-3 3 x+3y+6z=0 6y+3z=0

，
取

n1

=（

3

，-1，2）
∵

AE

=（0，0，3），
则点A到平面CDE的距离d=

6

3 3+1+4

=

2

2

．

点评：考查空间想象能力、逻辑思维能力、运算求解能力和探究能力，同时考查学生灵活利用图形，借助向量工具解决问题的能力，考查数形结合思想．是中档题．