题目内容

设an是(
x
+3)n（n≥2且n∈N）的展开式中x的一次项的系数，则
2009
2008
(
32
a2
+
33
a3
+…+
32009
a2009
)的值为（　　）
分析：利用二项展开式的通项公式求出通项，令x的幂指数为1求出an，再求出
3n
an
，据其特点，利用裂项法求出数列的和．
解答：解：∵an是(
x
+3)n（n≥2且n∈N）的展开式中x的一次项的系数，再由 (
x
+3)n=(3+
x
)n，
可得展开式通项公式为 Tr+1=
C
r
n
•3n-r•x
r
2
，令 
r
2
=1，解得r=2，即 an=3n-2•
C
2
n
，
∴
3n
an
=
9
C
2
n
=
18
n(n-1)
=18（
1
n-1
-
1
n
）．
∴
2009
2008
(
32
a2
+
33
a3
+…+
32009
a2009
)=
2009
2008
•18•（
1
2
-
1
3
+
1
3
-
1
4
+
1
4
-
1
5
+…+
1
2008
-
1
2009
）
=
2009
2008
（
1
2
-
1
2009
）=18，
故选A．
点评：本题考查二项展开式的通项公式、数列求和的方法：裂项法，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
设an是（3-
x
）n展开式中x的一次项系数（n≥2），则
32
a2
+
33
a3
+ 
34
a4
=
 
．
设an是（3-
x
）n的展开式中x项的系数（n=2、3、4、…），则
lim
n→∞
（
32
a2
+
33
a3
+…+
3n
an
）=
18
18
．
设an是（3）n的展开式中x一次项的系数(n=2,3,4，…),则+…+的值为

A.15                 B.16                 C.17                 D.18

设an是(
x
+3)n（n≥2且n∈N）的展开式中x的一次项的系数，则
2009
2008
(
32
a2
+
33
a3
+…+
32009
a2009
)的值为（　　）
A．18B．17C．-18D．19

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