Question

统计部门在一次调查统计中得知，某行业在2010年末有员工30万人，假定每年退休工为上一年员工数的a%，且每年新增员工m万人（m为常数），记2010年末员工人数为b₁，以后各年末的员工人数分别为b₂，b₃，b₄…
（I）写出b₂，b₃的表达式及b_n与b_n-1的关系式；
（II）若a=6，为提高就业率，且考虑到行业规模的制约，m在什么范围内取值时能够保持员工人数逐年增加，且员工总数不超过60万人．

Answer 1

分析：（I）根据每年退休工为上一年员工数的a%，且每年新增员工m万人，可求出b₂，b₃的表达式，观察可得b_n与b_n-1的关系式；
（II）由（I）得b_n=0.94b_n-1+m则b_n-

m

0.06

=0.94（b_n-1-

m

0.06

）（n≥2，n∈N），从而{b_n-

m

0.06

}是以30-

m

0.06

为首项，0.94为公比的等比数列，求出b_n的通项公式，当30-

m

0.06

＜0时，数列{b_n}单调递增，可求m的最小值，然后根据b_n≤60恒成立，将m分离出来可求出m的最大值，从而求m的取值范围．

解答：解：（I）依题意得：b₂=30（1-a%）+m
b₃=b₂（1-a%）+m=30（1-a%）²+m（1-a%）+m
∴b_n=b_n-1（1-a%）+m
（II）由（I）得b_n=0.94b_n-1+m
∴b_n-

m

0.06

=0.94（b_n-1-

m

0.06

）（n≥2，n∈N）
∴{b_n-

m

0.06

}是以30-

m

0.06

为首项，0.94为公比的等比数列，
所以b_n-

m

0.06

=（30-

m

0.06

）×0.94^n-1
即b_n=

m

0.06

+（30-

m

0.06

）×0.94^n-1（n∈N）
当30-

m

0.06

＜0时，数列{b_n}单调递增，即m＞1.8
又由b_n≤60得：

m

0.06

+（30-

m

0.06

）×0.94^n-1≤60
∴m≤

1.8(1-0.94n-1) +1.8

1-0.94n-1

=1.8+

1.8

1-0.94n-1

又1.8+

1.8

1-0.94n-1

＞3.6
∴m≤3.6
∴m∈（1.8，3.6]时能够保持员工人数逐年增加且员工总数不超过60万人．

点评：本题主要考查了数列的递推关系，以及构造新数列等方法和数列的应用与等比关系的确定，同时考查了计算能力，属于中档题．