Question

8．已知函数f（x）=lnax-$\frac{x-a}{x}$（a≠0）．
（1）求此函数的单调区间及最值；
（2）求证：对于任意正整数n，均有1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$…+$\frac{1}{n}$≥ln$\frac{{e}^{n}}{n!}$（e为自然对数的底数）．

Answer 1

分析 （1）先求出函数的导数，分类讨论a的范围，确定函数的单调性，从而求得函数的极值．
（2）取a=1，由（1）知 f（x）=lnx-$\frac{x-1}{x}$≥0，即 $\frac{1}{x}$≥1-lnx=ln$\frac{e}{x}$，取x=1，2，3…，n，累加可得要征的结论．

解答 解：（1）由题意可得 f′（x）=$\frac{x-a}{{x}^{2}}$，
∴当a＞0时，令f′（x）=0，求得x=a，
由ax＞0，求得x＞0，函数的定义域为（0，+∞），
此时函数在（0，a）上，f′（x）＜0，f（x）是减函数；在（a，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）是增函数，
故函数f（x）的极小值为f（a）=lna²，无最大值．
当a＜0时，由ax＞0，求得x＜0，可得函数f（x）的定义域为（-∞，0），
此时函数（-∞，a）上，f′（x）=$\frac{x-a}{{x}^{2}}$＜0，f（x）是减函数；在（a，0）上，f′（x）＞0，f（x）是增函数，
故函数f（x）的极小值为f（a）=lna²，无最大值．
（2）证明：取a=1，由（1）知 f（x）=lnx-$\frac{x-1}{x}$≥f（1）=0，∴$\frac{1}{x}$≥1-lnx=ln$\frac{e}{x}$，
取x=1，2，3…，n，则 1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$…+$\frac{1}{n}$≥ln$\frac{e}{1}$+ln$\frac{e}{2}$+ln$\frac{e}{3}$+…+ln$\frac{e}{n}$=ln$\frac{{e}^{n}}{n!}$，
故要征得不等式1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$…+$\frac{1}{n}$≥ln$\frac{{e}^{n}}{n!}$ 成立．

点评 本题主要考查利用导数研究函数的单调性，求函数的极值，属于难题．