已知F1.F2是椭圆C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的左.右焦点.离心率为$\frac{1}{2}$.M.N是平面内两点.满足$\overrightarrow{{F} {1}M}$=-2$\overrightarrow{M{F} {2}}$.线段NF1的中点P在椭圆上.△F1MN周长为12(1)求椭圆C的方程,的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

13．已知F₁，F₂是椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左，右焦点，离心率为$\frac{1}{2}$，M、N是平面内两点，满足$\overrightarrow{{F}_{1}M}$=-2$\overrightarrow{M{F}_{2}}$，线段NF₁的中点P在椭圆上，△F₁MN周长为12
（1）求椭圆C的方程；
（2）若过（0，2）的直线l与椭圆C交于A、B，求$\overrightarrow{OA}$$•\overrightarrow{OB}$（其中O为坐标原点）的取值范围．

分析（1）如图所示，由$\overrightarrow{{F}_{1}M}$=-2$\overrightarrow{M{F}_{2}}$，可得点F₂是线段F₁N的中点．又线段NF₁的中点P在椭圆上，可得线段PF₂是△F₁MN的中位线．由椭圆定义及其三角形中位线独立及其△F₁MN周长为12，可得4a+4c=12，又$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，a²=b²+c²，联立解出即可得出．
（2）当直线l⊥x轴时，$\overrightarrow{OA}$$•\overrightarrow{OB}$=-b²=-3．当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为：y=kx+2．A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．与椭圆方程联立化为：（3+4k²）x²+16kx+4=0，△＞0，化为：k²＞$\frac{1}{4}$．利用一元二次方程的根与系数的关系及其数量积运算性质可得$\overrightarrow{OA}$$•\overrightarrow{OB}$=-3+$\frac{25}{3+4{k}^{2}}$，进而得出结论．

解答解：（1）如图所示，∵$\overrightarrow{{F}_{1}M}$=-2$\overrightarrow{M{F}_{2}}$，∴点F₂是线段F₁N的中点，
又线段NF₁的中点P在椭圆上，∴线段PF₂是△F₁MN的中位线．
∵|PF₁|+|PF₂|=2a，∴|NF₁|+|NM|=4a．
又△F₁MN周长为12，∴4a+4c=12，
化为：a+c=3，又$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，a²=b²+c²，
解得a=2，c=1，b²=3．
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
（2）当直线l⊥x轴时，$\overrightarrow{OA}$$•\overrightarrow{OB}$=-b²=-3．
当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为：y=kx+2．A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+2}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，化为：（3+4k²）x²+16kx+4=0，
△=256k²-16（3+4k²）＞0，化为：k²＞$\frac{1}{4}$．
解得$k＞\frac{1}{2}$，或k$＜-\frac{1}{2}$．
∴x₁+x₂=-$\frac{16k}{3+4{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4}{3+4{k}^{2}}$．
∴$\overrightarrow{OA}$$•\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+（kx₁+2）（kx₂+2）
=（1+k²）x₁x₂+2k（x₁+x₂）+4
=（1+k²）×$\frac{4}{3+4{k}^{2}}$-2k×$\frac{16k}{3+4{k}^{2}}$+4
=$\frac{16-12{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}$=-3+$\frac{25}{3+4{k}^{2}}$，
∵$k＞\frac{1}{2}$，或k$＜-\frac{1}{2}$．
∴$\overrightarrow{OA}$$•\overrightarrow{OB}$∈$（-3，\frac{13}{4}）$．
综上可得：$\overrightarrow{OA}$$•\overrightarrow{OB}$∈$[-3，\frac{13}{4}）$．