Question

20．已知函数f（x）=$\frac{1}{2}{x^2}$-（3a+1）x+3alnx．
（Ⅰ）若曲线y=f（x）在点（4，f （ 4 ））处的切线的斜率小于0，求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）对任意的a∈[1，3]，x₁，x₂∈[1，3]（x₁≠x₂），恒有$|f（{x_1}）-f（{x_2}）|＜k|\frac{1}{x_1}-\frac{1}{x_2}|$，求k的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函数的导数，根据切线的斜率小于0，求出a的范围即可；
（Ⅱ）问题转化为f（x₁）-$\frac{k}{{x}_{1}}$＜f（x₂）-$\frac{k}{{x}_{2}}$对任意的a∈[1，3]，1≤x₁＜x₂≤3恒成立．令g（x）=f（x）-$\frac{k}{x}$，通过函数的单调性求出k的范围即可．

解答 ．解：（Ⅰ）f′（x）=$\frac{（x-3a）（x-1）}{x}$，（x＞0），
若曲线f（x）在点（4，f（4））处的切线的斜率小于0，
则f′（4）=$\frac{3（4-3a）}{3}$＜0，∴a＞$\frac{4}{3}$．
则由f′（x）＞0得0＜x＜1或x＞3a；由f′（x）＜0得1＜x＜3a．
∴f（x）的单调递增区间为（0，1），（3a，+∞），单调递减区间为（1，3a）． …（4分）
（Ⅱ）∵对任意的a∈[1，3]，∴3a∈[3，9]，由（Ⅰ）知f（x）在[1，3]上为减函数．
不妨设1≤x₁＜x₂≤3，则f（x₁）＞f（x₂），$\frac{1}{{x}_{1}}$＞$\frac{1}{{x}_{2}}$，
∴原不等式可化为：f（x₁）-f（x₂）＜k（$\frac{1}{{x}_{1}}$-$\frac{1}{{x}_{2}}$），
即f（x₁）-$\frac{k}{{x}_{1}}$＜f（x₂）-$\frac{k}{{x}_{2}}$，对任意的a∈[1，3]，1≤x₁＜x₂≤3恒成立．…（6分）
令g（x）=f（x）-$\frac{k}{x}$，∴对任意的a∈[1，3]，1≤x₁＜x₂≤3有g（x₁）＜g（x₂）恒成立，
∴g（x）在闭区间[1，3]上为增函数，
∴g′（x）≥0对任意的a∈[1，3]，x∈[1，3]恒成立（等号成立的x值不连续）．
而g′（x）=$\frac{{x}^{3}-（3a+1{）x}^{2}+3ax+k}{{x}^{2}}$≥0，
化简得x³-（3a+1）x²+3ax+k≥0，
即（3x-3x²）a+x³-x²+k≥0，其中a∈[1，3]，x∈[1，3]．
∵x∈[1，3]，∴（3x-3x²）≤0，只需3（3x-3x²）+x³-x²+k≥0，
即x³-10x²+9x+k≥0对任意x∈[1，3]恒成立．      …（9分）
令h（x）=x³-10x²+9x+k，x∈[1，3]，
则h′（x）=3x²-20x+9＜0，x∈[1，3]恒成立，
∴h（x）在闭区间[1，3]上为减函数，
则h（x）_min=h（3）=k-36≥0，解得k≥36．     …（12分）

点评 本题考查了利用导函数求函数的单调性问题，难点是对导函数中参数的讨论问题．