Question

甲、乙两人进行某种比赛，各局胜负相互独立，约定每局胜者得1分，负者得0分，无平局，比赛进行到有一人比对方多2分时结束，已知甲在每局中获胜的概率均为P（其中P＞）．赛完后两局比赛结束的概率为．
（I）求P；
（II）求赛完四局比赛结束且乙比甲多2分的概率．

Answer 1

【答案】分析：设事件A_i表示“甲第i局获胜”，事件B_i表示“乙第i局获胜”，则P（A_i）=p，P（B_i）=1-p
（I）设“赛完两局比赛结束”为事件C，P（C）=P（A₁•A₂+B₁•B₂），利用相互独立事件的概率公式，结合赛完后两局比赛结束的概率为，建立方程，可求p；
（II）设“赛完四局比赛结束且乙比甲多2分”为事件D，则D=B₁•A₂•B₃•B₄+A₁•B₂•B₃•B₄，利用相互独立事件的概率公式，可得结论．
解答：解：设事件A_i表示“甲第i局获胜”，事件B_i表示“乙第i局获胜”，则P（A_i）=p，P（B_i）=1-p
（I）设“赛完两局比赛结束”为事件C，则C=A₁•A₂+B₁•B₂，则P（C）=
即P（A₁•A₂+B₁•B₂）=P（A₁•A₂）+P（B₁•B₂）=
所以p²+（1-p）²=，所以，解得p=或
因为p＞，所以p=； （6分）
（II）设“赛完四局比赛结束且乙比甲多2分”为事件D，
则D=B₁•A₂•B₃•B₄+A₁•B₂•B₃•B₄，
∴P（D）=P（B₁•A₂•B₃•B₄+A₁•B₂•B₃•B₄）=+=  （12分）
点评：本题考查概率的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．