题目内容
6．对于项数为m的有穷数列{an}，记bk=max{a1，a2，…，ak}（k=1，2，…，m），即bk为a1，a2，…，ak中的最大值，并称数列{bk}是{an}的控制数列．如1，3，2，5，5的控制数列是1，3，3，5，5．（I）若各项均为正整数的数列{an}的控制数列为2，3，4，5，5，写出所有符合条件的数列{an}；
（II）设m=100，若an=|2n-4|，{bn}是{an}的控制数列，求（b1-a1）+（b2-a2）+…+（b100-a100）的值；
（III）设{bn}是{an}的控制数列，满足ak+bm-k+1=C（C为常数，k=1，2，…，m）．
求证：bk=ak（k=1，2，…，m）．
分析 （Ⅰ）根据控制数列的定义，进行列举即可得到数列{an}；
（Ⅱ）确定b1=a1=2，a2=0，b2=2，n≥3时，总有bn=an，从而求（b1-a1）+（b2-a2）+…+（b100-a100）的值；
（Ⅲ）依题意可得bk+1≥bk，根据ak+bm-k+1=C，ak+1+bm-k=C，证明ak+1-ak=bm-k+1-bm-k≥0，即证得结论．
解答 解：（I）若各项均为正整数的数列{an}的控制数列为2，3，4，5，5，
则数列{an}可能为：
①2，3，4，5，1；
②2，3，4，5，2；
③2，3，4，5，3；
④2，3，4，5，4；
⑤2，3，4，5，5．…（2分）
（II）∵an=|2n-4|，{bn}是{an}的控制数列，
∴b1=a1=2，a2=0，b2=2．
当n≥3时，bn=an，
∴（b1-a1）+（b2-a2）+…+（b100-a100）=2．…（5分）
证明：（III）因为bk=max{a1，a2，…ak}，
bk+1=max{a1，a2，…ak，ak+1}，
所以bk+1≥bk．…（6分）
因为ak+bm-k+1=C，ak+1+bm-k=C，
所以ak+1-ak=bm-k+1-bm-k≥0，
即ak+1≥ak．…（7分）
因此，bk=ak．…（8分）
点评 本题考查数列的应用，考查对抽象概念的理解与综合应用的能力，属于中档题．
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