Question

14．将一块边长为10的正方形铁片按图1所示的阴影部分裁下，用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个底面边长为x的正四棱锥形容器（如图2），则函数f（x）=$\frac{{V}_{E-ABCD}}{x}$的最大值为（　　）

• A． $\frac{25\sqrt{3}}{6}$
• B． $\frac{50}{3}$
• C． $\frac{25}{3}$
• D． $\frac{125\sqrt{3}}{6}$

Answer 1

分析 用x表示出棱锥的高，得出f（x）的解析式，利用基本不等式得出f（x）的最大值．

解答 解：由图可知EF=5，OF=$\frac{x}{2}$，∴四棱锥的高OE=$\sqrt{25-\frac{{x}^{2}}{4}}$，
∴V_E-ABCD=$\frac{1}{3}$S_△ABC•OE=$\frac{1}{3}{x}^{2}\sqrt{25-\frac{{x}^{2}}{4}}$．
∴f（x）=$\frac{1}{3}x\sqrt{25-\frac{{x}^{2}}{4}}$=$\frac{1}{3}$$\sqrt{{x}^{2}（25-\frac{{x}^{2}}{4}）}$=$\frac{2}{3}$$\sqrt{\frac{{x}^{2}}{4}（25-\frac{{x}^{2}}{4}）}$，
∵$\sqrt{\frac{{x}^{2}}{4}（25-\frac{{x}^{2}}{4}）}$≤$\frac{\frac{{x}^{2}}{4}+25-\frac{{x}^{2}}{4}}{2}$=$\frac{25}{2}$，当且仅当$\frac{{x}^{2}}{4}$=25-$\frac{{x}^{2}}{4}$即x=5$\sqrt{2}$时取等号．
∴f_max（x）=$\frac{2}{3}×\frac{25}{2}$=$\frac{25}{3}$．
故选C．

点评 本题考查了棱锥的体积计算，基本不等式的应用，属于中档题．