Question

17．（1）求证：a²+b²+3≥ab+$\sqrt{3}$（a+b）；
（2）已知a，b，c均为实数，且a=x²+2y+$\frac{π}{2}$，b=y²+2z+$\frac{π}{3}$，c=z²+2x+$\frac{π}{6}$，求证：a，b，c中至少有一个大于0．

Answer 1

分析 （1）运用重要不等式可得a²+b²≥2ab，a²+3≥2$\sqrt{3}$a，b²+3≥2$\sqrt{3}$b，累加即可得证；
（2）运用反证法证明，假设a，c，b都不大于0，可得a+b+c≤0，再由配方和平方非负，可得矛盾，即可得证．

解答 证明：（1）由a²+b²≥2ab，a²+3≥2$\sqrt{3}$a，b²+3≥2$\sqrt{3}$b；
将此三式相加得，
2（a²+b²+3）≥2ab+2$\sqrt{3}$a+2$\sqrt{3}$b，
即有a²+b²+3≥ab+$\sqrt{3}$（a+b）；
（2）（反证法）
假设a，c，b都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0，则a+b+c≤0，
由a=x²+2y+$\frac{π}{2}$，b=y²+2z+$\frac{π}{3}$，c=z²+2x+$\frac{π}{6}$，
可得a+b+c=（x²+2y+$\frac{π}{2}$）+（y²+2z+$\frac{π}{3}$）+（z²+2x+$\frac{π}{6}$）
=（x²+2x+1）+（y²+2y+1）+（z²+2z+1）+π-3
=（x+1）²+（y+1）²+（z+1）²+π-3＞0，
即a+b+c＞0与a+b+c≤0矛盾，
故假设错误，原命题成立．

点评 本题考查不等式的证明，注意运用重要不等式和反证法，考查推理能力，属于中档题．