Question

4．若实数x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x≥0}\\{lg（y-1）≤0}\\{2x-y≤2}\end{array}\right.$，若a＜$\frac{y}{x+1}$恒成立，则a的取值范围为（-∞，$\frac{2}{5}$]．

Answer 1

分析 画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义求出表达式的最小值，推出a的范围即可．

解答 解：实数x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{x≥0}\\{lg（y-1）≤0}\\{2x-y≤2}\end{array}\right.$，即：$\left\{\begin{array}{l}{x≥0}\\{0＜y-1≤1}\\{2x-y≤2}\end{array}\right.$的可行域如图：
$\frac{y}{x+1}$的几何意义是可行域内的点与D（-1，0）连线的斜率，由可行域可知DA的连线的斜率最小，由$\left\{\begin{array}{l}{y=1}\\{2x-y=2}\end{array}\right.$，解得A（$\frac{3}{2}$，1），
k_DA=$\frac{1}{\frac{3}{2}+1}$=$\frac{2}{5}$．
则a的取值范围为：（-∞，$\frac{2}{5}$]．

点评 本题考查线性规划的简单应用，考查数形结合思想的应用，是中档题．