Question

12．若函数f（x）=x²+x-2alnx在[1，e]上单调递增，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （-∞，$\frac{3}{2}$]
• B． （-∞，1]
• C． （-1，$\frac{3}{2}$]
• D． [1，+∞）

Answer 1

分析 由函数f（x）在[1，e]上单调递增，可得f′（x）≥0在[1，e]上恒成立．即2x+1-$\frac{2a}{x}$≥0，x∈[1，e]?a≤2x²_min，x∈[1，e]．利用二次函数的单调性求出即可．

解答 解：函数f（x）=x²+x-2alnx，（x∈[1，e]），f′（x）=2x+1-$\frac{2a}{x}$，
∵函数f（x）在[1，e]上单调递增，
∴f′（x）≥0在[1，e]上恒成立．
∴2x+1-$\frac{2a}{x}$≥0，x∈[1，e]?a≤$\frac{1}{2}$（2x²+x）_min，x∈[1，e]．
令g（x）=$\frac{1}{2}$（2x²+x），则g（x）在[1，e]单调增函数．
∴g（x）≤g（1）=$\frac{3}{2}$．
∴a≤$\frac{3}{2}$．
故选：A．

点评 熟练掌握利用导数研究函数的单调性、等价转化、二次函数的性质等是解题的关键．