Question

若曲线y=

16

x

上的点P到直线4x+y+9=0的距离最短，求点P的坐标．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由题意设曲线上任意一点（x₀，

16

x0

），求出函数的导数，利用平行线之间的距离求解距离的最小值，然后得到所求点的坐标．

解答： 解：设曲线y=

16

x

上的任意一点为（x₀，

16

x0

），
由y′=-

16

x2

，可知，曲线y=

16

x

上的点P到直线4x+y+9=0的距离最短，就是与直线平行的直线与曲线相切时，两条平行线之间的距离，此时-4=-

16

x02

，解得x₀=-2时取等号，
故曲线y=

16

x

上的点（-2，-8）到直线4x+y+9=0的距离的最小值，
所求P的坐标（-2，-8）．

点评：本题考查点到直线的距离公式，涉及导数的应用，考查转化思想以及计算能力，属中档题．