Question

6．将函数y=$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{4}$x）的图象向左平移3个单位，得函数y=$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{4}$x+φ）（|φ|＜π）的图象（如图），点M，N分别是函数f（x）图象上y轴两侧相邻的最高点和最低点，设∠MON=θ，则tan（φ-θ）的值为（　　）

• A． 1-$\sqrt{3}$
• B． 2-$\sqrt{3}$
• C． 1+$\sqrt{3}$
• D． -2+$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 根据函数图象的变换，求得φ的值，由正弦函数的性质，求得M和N的坐标，利用余弦定理求得θ的值，即可求得tan（φ-θ）．

解答 解：函数y=$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{4}$x）的图象向左平移3个单位，可得：y=$\sqrt{3}$sin[$\frac{π}{4}$（x+3）]=$\sqrt{3}$sin（$\frac{π}{4}$x+$\frac{3π}{4}$），
则φ=$\frac{3π}{4}$，
∴M（-1，$\sqrt{3}$），N（3，-$\sqrt{3}$），
则丨OM丨=2，丨ON丨=2$\sqrt{3}$，丨MN丨=2$\sqrt{7}$，
cosθ=$\frac{丨OM{丨}^{2}+丨ON{丨}^{2}-丨MN{丨}^{2}}{2丨OM丨×丨ON丨}$=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
由0＜θ＜π，则θ=$\frac{5π}{6}$，
则tan（φ-θ）=tan（$\frac{3π}{4}$-$\frac{5π}{6}$）=-tan$\frac{π}{12}$=-tan（$\frac{π}{4}$-$\frac{π}{6}$）=-$\frac{tan\frac{π}{4}-tan\frac{π}{6}}{1+tan\frac{π}{4}tan\frac{π}{6}}$=-（2-$\sqrt{3}$）=-2+$\sqrt{3}$，
tan（φ-θ）的值-2+$\sqrt{3}$，
故选D．

点评 本题考查正弦函数的图象变换，余弦定理，两角差的正切公式，考查计算能力，属于中档题．