Question

现有A、B、C、D四个长方体容器,A、B的底面积为a²,高分别为a和b,C、D的底面积均为b²,高分别为a和b(其中a≠b).现规定一种游戏规则:每人一次从四个容器中取两个,盛水多者为胜,问先取者有没有必胜的方案?若有的话有几种?

Answer 1

解：依题意可知A、B、C、D四个容器的容积分别为a³,a²b,ab²,b³.按照游戏规则,先取者试用三种不同的取法:①取A、B;②取A、C;③取A、D.问题的实质是比较容积两两和的大小.

①若先取A、B,则后取者只能取C、D.

∵(a³+a²b)-(ab²+b³)

=a²(a+b)-b²(a+b)

=(a-b)(a+b)²,

    显然(a+b)²＞0,而a与b的大小不确定,

∴(a-b)(a+b)²的正负不能确定,

    即a³+a²b与ab²+b³的大小不定,这种取法无必胜的把握.

②若先取A、C,则后取者只能是B、D.

∵(a³+ab²)-(a²b+b³)

=a(a²+b²)-b(a²+b²)=(a-b)(a²+b²),

∴类似于①的分析知,这种取法也无必胜的把握.

③若先取A、D,则后取者只能是B、C.

∵(a³+b³)-(a²b+ab²)=(a+b)(a²-ab+b²)-ab(a+b)=(a+b)(a²-2ab+b²)=(a+b)(a-b)²,

    又a≠b,a＞0,b＞0,∴(a+b)(a-b)²＞0,

    即a³+b³＞a²b+ab².

    故先取A、D是唯一必胜的方案.