Question

3．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，若S_n=2a_n+n，且b_n=n（1-a_n）
（1）求证：{a_n-1}为等比数列；
（2）求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由a_n+1=S_n+1-S_n=2a_n+1-2a_n+1，能证明{a_n-1}是以-2为首项，2为公比的等比数列．
（2）由${b}_{n}=n•{2}^{n}$，利用错位相减法能求出数列{b_n}的前n项和T_n．

解答 证明：（1）∵数列{a_n}的前n项和为S_n，S_n=2a_n+n，
∴S_n+1=2a_n+1+n+1，
∴a_n+1=S_n+1-S_n=2a_n+1-2a_n+1，
∴a_n+1=2a_n-1，
∴a_n+1-1=2（a_n-1），
∴{a_n-1}是以-2为首项，2为公比的等比数列．
解：（2）由（1）得${a}_{n}-1=-2×{2}^{n-1}=-{2}^{n}$，即${a}_{n}=-{2}^{n}+1$，
∵b_n=n（1-a_n），∴${b}_{n}=n•{2}^{n}$，
∴T_n=1•2+2•2²+…+n•2ⁿ，①
2T_n=1•2²+2•2³+…+n•2ⁿ⁺¹，②
①-②，得：-T_n=2+2²+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹
=$\frac{2（{2}^{n}-1）}{2-1}-n•{2}^{n+1}$
=（1-n）•2ⁿ⁺¹-2，
∴T_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．

点评 本题考查等比数列的证明，考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．