Question

20．已知极坐标系的极点为平面直角坐标系xOy的原点，极轴为x轴正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=-1+\sqrt{2}cosα\\ y=1+\sqrt{2}sinα\end{array}\right.（α$为参数），直线l过点（-1，0），且斜率为$\frac{1}{2}$，射线OM的极坐标方程为$θ=\frac{3π}{4}$．
（1）求曲线C和直线l的极坐标方程；
（2）已知射线OM与圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．

Answer 1

分析 （1）曲线C的参数方程消去参数得到曲线C的普通方程，将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入，能求出曲线C的极坐标方程；先求出直线l的方程，由此能求出直线l的极坐标方程．
（2）当$θ=\frac{3π}{4}$时，分别求出|OP|和|OQ|，由此能求出线段PQ的长．

解答 解：（1）∵曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=-1+\sqrt{2}cosα\\ y=1+\sqrt{2}sinα\end{array}\right.（α$为参数），
∴曲线C的普通方程为（x+1）²+（y-1）²=2，
将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入整理得ρ+2cosθ-2sinθ=0，
即曲线C的极坐标方程为$ρ=2\sqrt{2}sin（{θ-\frac{π}{4}}）$．
∵直线l过点（-1，0），且斜率为$\frac{1}{2}$，
∴直线l的方程为$y=\frac{1}{2}（{x+1}）$，
∴直线l的极坐标方程为ρcosθ-2ρsinθ+1=0．
（2）当$θ=\frac{3π}{4}$时，$|{OP}|=2\sqrt{2}sin（{\frac{3π}{4}-\frac{π}{4}}）=2\sqrt{2}，|{OQ}|=\frac{1}{{2×\frac{{\sqrt{2}}}{2}+\frac{{\sqrt{2}}}{2}}}=\frac{{\sqrt{2}}}{3}$，
故线段PQ的长为$2\sqrt{2}-\frac{{\sqrt{2}}}{3}=\frac{{5\sqrt{2}}}{3}$．

点评 本题考查曲线和直线的极坐标方程的求法，考查线段长的求法，考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．