Question

如图，一船在海上由西向东航行，在A处测得某岛M的方位角为北偏东45°角，前进2(

3

-1)km后在B处测得该岛的方位角为北偏东30⁰角，已知该岛周围3.5km范围内有暗礁，现该船继续东行．问该船有无触礁危险？如果没有，请说明理由；如果有，那么该船自B处向东航行多少距离会有触礁危险？

Answer 1

分析：由于该岛周围3.5km范围内有暗礁，故只要能使M到直线AB的距离大于3.5km，就不会有触礁的危险，故需作辅助线MC（MC⊥AB），即转化为求距离的问题．在三角形中，可知两角及其中一角所对的边，即可用正弦定理来解决．

解答：解：（1）作MC⊥AB，垂足为C，…（1分）
在△ABM中由已知α=45⁰，β=30⁰，
所以∠ABM=120°，∠MAB=45°，∠AMB=15°，AB=2(

3

-1)…（3分）
由正弦定理得BM=

AB•sin∠MAB

sin∠AMB

=

2( 3 -1)•sin450

sin150

=4…（7分）
在Rt△AMC中，MC=BM-sin60°=2

3

＜3.5，
所以该船有触礁的危险．                              …（9分）
（2）设该船自B向东航行至点D有触礁危险，则MD=3.5，…（10分）
在△MBC中，BM=4，BC=2，
MC=2

3

，CD=

3．52-(2 3 )2

=0.5，
所以BD=1.5（km）．              …（13分）
所以，该船自B向东航行1.5km会有触礁危险．         …（14分）

点评：本题是以实际问题为平台考查解三角形的问题，常用正余弦定理来做，在问题中注意题目中的隐含的限定条件．