Question

10．$\underset{lim}{x→+∞}$（$\frac{x+1}{x-1}$）^x=（　　）

• A． e²
• B． e^-2
• C． e
• D． e^-1

Answer 1

分析 令y=（$\frac{x+1}{x-1}$）^x，则lny=x[ln（x+1）-ln（x-1）]，由此求出$\underset{lim}{x→+∞}$（lny）=$\underset{lim}{x→+∞}$x[ln（x+1）-ln（x-1）]=2，由此能求出$\underset{lim}{x→∞}（\frac{x+1}{x-1}）^{2}$的值．

解答 解：令y=（$\frac{x+1}{x-1}$）^x，则lny=x[ln（x+1）-ln（x-1）]，
∴$\underset{lim}{x→+∞}$（lny）=$\underset{lim}{x→+∞}$x[ln（x+1）-ln（x-1）]
=$\underset{lim}{x→+∞}$$\frac{ln（x+1）-ln（x-1）}{\frac{1}{x}}$
=$\underset{lim}{x→+∞}$$\frac{\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x-1}}{-\frac{1}{{x}^{2}}}$
=$\underset{lim}{x→+∞}$$\frac{2{x}^{2}}{{x}^{2}-1}$=2，
∴$\underset{lim}{x→+∞}$（lny）=ln[$\underset{lim}{x→∞}（\frac{x+1}{x-1}）^{2}$]=2，∴$\underset{lim}{x→∞}（\frac{x+1}{x-1}）^{2}$=e²．

故选：A．

点评 本题考查极限的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意自然对数性质的合理运用．