Question

19．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|x|，x≤m}\\{{x}^{2}-2mx+4m，x＞m}\end{array}\right.$，其中m＞0，若存在实数b，使得关于x的方程f（x）=b，有三个不同的根，则m的取值范围是（　　）

• A． （0，$\frac{1}{2}$）
• B． （$\frac{1}{2}$，+∞）
• C． （$\frac{1}{3}$，1）
• D． （3，+∞）

Answer 1

分析 作出函数f（x）的图象，依题意，可得4m-m²＜m（m＞0），解之即可．

解答 解：当m＞0时，函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|x|，x≤m}\\{{x}^{2}-2mx+4m，x＞m}\end{array}\right.$的图象如图：
∵x＞m时，f（x）=x²-2mx+4m=（x-m）²+4m-m²＞4m-m²，
∴y要使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，
必须4m-m²＜m（m＞0），
即m²＞3m（m＞0），
解得m＞3，
∴m的取值范围是（3，+∞），
故选：D

点评 本题考查根的存在性及根的个数判断，数形结合思想的运用是关键，分析得到4m-m²＜m是难点，属于中档题．