Question

19．函数f（x）=x-ln（x+1）+m，若函数y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程为x-2y+1-2ln2=0
（1）求实数m的值
（2）若对于任意的x∈（-1，0]，总有f（x）≥ax²，试求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求得函数的定义域，求出f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，求得切线的方程，由题意可得m=0；
（2）设g（x）=f（x）-ax²，则g（x）≥0在（-1，0]恒成立，求出g（x）的导数，讨论a=0，a＜0，a＞$\frac{1}{2}$，0＜a≤$\frac{1}{2}$，运用单调性，求得最小值，即可得到a的范围．

解答 解：（1）函数f（x）的定义域为（-1，+∞）．
因为f′（x）=1-$\frac{1}{x+1}$，故f′（1）=$\frac{1}{2}$，
又因为切点为（1，1-ln2+m），
所以切线方程为y-（1-ln2+m）=$\frac{1}{2}$（x-1），
即x-2y+1-2ln2+2m=0．
由切线的方程可得2m=0，即m=0；
（2）设g（x）=f（x）-ax²，则g（x）≥0在（-1，0]恒成立，
g′（x）=1-$\frac{1}{x+1}$-2ax=$\frac{x（1-2a-2ax）}{1+x}$，
①若a=0，则g′（x）≤0在（-1，0]恒成立，g（x）在（-1，0]单调递减，
g（x）_min=g（0）=0，g（x）≥0符合题意；
②若a≠0令g′（x）=0，解得x=0或x=$\frac{1-2a}{2a}$．
若a＜0，则$\frac{1-2a}{2a}$＜-1，则x∈（-1，0]时g′（x）≤0，g（x）在（-1，0]单调递减，
因此g（x）_min=g（0）=0，g（x）≥0符合题意；
若a＞$\frac{1}{2}$，则-1＜$\frac{1-2a}{2a}$＜0，则x∈（-1，$\frac{1-2a}{2a}$]时g′（x）≤0，g（x）在（-1，$\frac{1-2a}{2a}$]单调递减，
x∈（$\frac{1-2a}{2a}$，0]时g′（x）≥0，g（x）在（$\frac{1-2a}{2a}$，0]单调递增，
因此g（x）_min＜g（0）=0，不符合题意．
若0＜a≤$\frac{1}{2}$，则$\frac{1-2a}{2a}$≥0，则x∈（-1，0]时g′（x）≤0，g（x）在（-1，0]单调递减，
因此g（x）_min=g（0）=0，g（x）≥0符合题意；
综上所述，实数a的取值范围是（-∞，$\frac{1}{2}$]．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程和单调区间、极值和最值，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用转化思想，构造函数法，考查分类讨论的思想方法，属于中档题．