Question

3．设O是非直角三角形ABC外接圆的圆心，点M满足$\overrightarrow{OM}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$，用向量法证明：$\overrightarrow{BM}$⊥$\overrightarrow{AC}$．

Answer 1

分析 运用向量的加减运算和数量积的性质，主要是向量的平方即为模的平方，化简整理即可得到证明．

解答 证明：O是非直角三角形ABC外接圆的圆心，
可设|OA|=|OB|=|OC|=R，
由$\overrightarrow{OM}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$，可得
$\overrightarrow{BM}$•$\overrightarrow{AC}$=（$\overrightarrow{OM}$-$\overrightarrow{OB}$）•（$\overrightarrow{OC}$-$\overrightarrow{OA}$）
=（$\overrightarrow{OC}$+$\overrightarrow{OA}$）•（$\overrightarrow{OC}$-$\overrightarrow{OA}$）
=$\overrightarrow{OC}$²-$\overrightarrow{OA}$²=R²-R²=0，
可得$\overrightarrow{BM}$⊥$\overrightarrow{AC}$．

点评 本题考查向量的加减运算和数量积的性质，主要是向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于基础题．