题目内容

已知点A，B，C都在椭圆 $数学公式$ 上，AB、AC分别过两个焦点F₁、F₂，当 $数学公式$ 时，有 $数学公式$ 成立．
（1）求此椭圆的离心率；
（2）设 $数学公式$ ．当点A在椭圆上运动时，求证m+n始终是定值．

解：（1）当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 74
∴ $\text{[math]}$ ．
由椭圆定义，得 $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ．
在Rt△AF₁F₂中，∵ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ．∴ $\text{[math]}$ ．
（2）由 $\text{[math]}$ ，得 $\text{[math]}$ ，∴b=c．
椭圆方程化为 $\text{[math]}$ ，即x²+2y²=2b²．
焦点F₁（-b，0），F₂（b，0），
设A（x₀，y₀），B（x₁，y₁），C（x₂，y₂）．
①当直线AC的斜率存在时，直线AC的方程为 $\text{[math]}$ ．
代入椭圆方程，得（3b²-2bx₀）y²+2by₀（x₀-b）y-b²y₀²=0．
∴ $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$ ．
∴ $\text{[math]}$ ．
同理可得 $\text{[math]}$ ．
②当直线AC的斜率不存在时， $\text{[math]}$ ．
综上所述，m+n是定值6.2
分析：（1）欲求椭圆的离心率，只需得到a，c的齐次式，根据当 $\text{[math]}$ 时，有 $\text{[math]}$ 成立，以及椭圆定义，即可得到．
（2）由（1）中求得的椭圆的离心率，可把椭圆化简成只有一个参数的形式，求出焦点F1，F2坐标，设出直线AC的方程，与椭圆方程联立，再根据 $\text{[math]}$ ，分别用参数的式子表示m，n，计算m+n，消去参数，可得一定值，问题得证．
点评：本题考查了椭圆离心率的求法，以及直线和椭圆联立，韦达定理得应用．